参考同济版《高等数学》

 计算不定积分一般需要灵活运用以下这些方法。

直接积分

 这是做不定积分的基础。

 由于不定积分是微分的逆运算，一些初等函数的导数可以导出相应积分公式。 然后对于这些被积函数的任意的线性组合，就可以直接写出原函数。 另外，对于含有三角函数的被积函数，有时需要利用三角恒等变换来转化到熟悉形式。

换元积分法

 换元的目的是将被积函数(一般是较复杂的复合函数)简化，使之容易积分。

  1. 第一类换元法

     若某个函数可转化为的形式， 那么求的积分就转化为求的积分。即，

     选取被代换函数时，寻找那些导函数是常数或者是被积函数的因子的函数。

     另外，对于含有三角函数的被积函数，也需要利用三角恒等式，降幂或化成多项式。

  2. 第二类换元法

     这个方法是第一类换元法的逆向过程。即，做变量代换，使得

     变量代换时，应选取单调且可导的函数。 特别地，对于以下情况可以利用三角换元。

    • 含有，可作代换来消去根号。
    • 含有，作代换。
    • 含有，作代换，这个代换需要分类讨论。

     若被积函数的分母次数远大于分子次数，可以尝试做倒代换来消去分母的变量x。

     需要注意，不一定都是做这样的代换，要具体问题具体分析。

 在求出关于的原函数后不要忘记将回代。

分部积分法

 分部积分法一般用于求被积函数是两个函数的乘积的积分，公式如下：

 一般和是幂函数、指数函数和三角函数中的一个。  在选取和时，应考虑：

  • 这个过程是容易的。
  • 要比更加容易求，否则就是将问题复杂化了。

有理函数的积分

 对于被积函数是形如的有理分式， 应将其分解为 的形式(是一多项式，是次数小于的多项式，是次数小于的多项式)。 分解后就可以根据以上提到的方法计算。

 对于含有三角函数的分式，可通过万能公式转化为有理分式。

 然后作代换。

 若被积函数含有简单根式或， 可以直接换元，能够化为有理分式。

放弃

 有些函数并不存在初等表达的原函数，比如 遇到这些函数可以直接放弃。